Derivada
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.
Integral
Es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta.
Por conveniencia se introduce una notación para la antiderivada de una función
Si F!(x) = f(x), se representa
A este grafo ∫ se le llama símbolo de la integral y a la notación ∫f x dx se le llama integral indefinida de f(x) con respecto a x. La función f(x) se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama constante de integración esta surge por la imposibilidad de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.
∫f x dx
Esto se lee integral de fx del diferencial de x
Ejemplo: 1
∫ (4x3-6x+2) dx (Ecuación principal.)
∫4x3dx- ∫6xdx+ ∫2dx (Se le coloca dx a cada elemento.)
4∫x3dx -6∫xdx +2∫dx (Se sacan las constantes.)
4x3+1 - 6x1+1 +2x+c (Se suman los exponente.)
3+1 1+1
4x4 - 6x2 +2x+c (Se coloca el resultado de la suma de los exponentes.)
4 2
X4 - 3x2 +2x+c (Se simplifican llegando a una ecuación lineal.)
Ejemplo: 2
∫ (Cosx +8 tgx+2) dx (Ecuación principal.)
∫ Cosxdx +∫ 8 tgxdx +∫ 2 dx (Se le coloca dx a cada elemento.)
∫ Cosxdx +8∫ tgxdx +2∫ dx (Se sacan las constantes.)
Senx+8 lnIsecxI +2x+c (Resultado de integral inmediata.)
Integrales inmediatas
Se denominan integrales inmediatas a aquellas que no requieren ningún método para encontrar una primitiva sino el simple reconocimiento de la función que se ha derivado.
Estas integrales se realizan directamente de las fórmulas de derivación. Evidentemente estas integrales son las más fáciles.
Ejemplo:
∫ (3x3-5x2+3x+4) dx (Ecuación principal.)
∫3x3dx- ∫5x2dx+∫3xdx + ∫4dx (Se le coloca dx a cada elemento.)
3∫x3dx -5∫x2dx +3∫xdx +4∫dx (Se sacan las constantes.)
3x3+1 - 5x2+1 +3x1+1 4x+c (Se suman los exponente.)
3+1 2+1 1+1
3x4 - 5x3 +3x2 +4x+c (Se coloca el resultado de la suma de los exponentes.)
4 3 2
Integrales definidas
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
Integración por sustitución o cambio de variable
Es Uno de los métodos más usuales para resolver las integrales es de la sustitución, realizado cuando se cambia una variable para regresar a la integral original. Este es un método principalmente usado cuando es difícil reconocer la integración de manera inmediata pero que parece intuitivo que se parece a una ya conocida,
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de la cadena
El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por sustitución
1Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos.
Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral
2 Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integral
2 Se vuelve a la variable inicial
Integración por cambio de variable.
El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuación
D (u.v) = u dv + v du
Por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre sí.
∫d (u.v) = ∫u dv + ∫v du (se integra en ambos lados de la fórmula)
(u.v) = ∫u dv + ∫v du (resolviendo la integral)
∫u dv = u v - ∫v du (despejando, queda la fórmula de la integración por partes)
Se llama integración por partes, porque la integral se divide en dos partes una u y otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Esta selección es lo más importante y se debe realizar de la siguiente manera
1.- En la parte que corresponde a dv debe ser la función más fácil de integrar,
2.- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logarítmicas e inversas), luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva. Las funciones trigonométricas y exponenciales son más sencillas de trabajar.
Una de las reglas para saber si el procedimiento realizado es correcto la integral resultante debe ser más sencilla que la original o sino de igual dificultad
Ejemplo:
∫ (xsenxdx=-cose4+ ∫ cosxdx=-xcosx+sen+c
dv: senxdx
v:-cosx
u:x
du:dx
Se aplica la fórmula de la integración por partes, el procedimiento se puede repetir tantas veces como la integral lo amerite. La constante de Integración solo debe considerase en la integral principal no en la que completa la fórmula.
Ejemplo 2
U: lnx
Du:dx/x
∫lnxdx=xln-∫ xdx/x=
Xlnx-x+c
La siguiente integral no se le puede aplicar la integración por partes directamente, se tiene que realizar un cambio de variable previo. Al observar que la función exponencial en su exponente genera una derivada y que esta debe estar dentro de la integral
Tutorial: integrales
Por sustitucion
http://www.youtube.com/watch?v=EXbU5RQ8lec
Cambio de variable
http://www.youtube.com/watch?v=gblY65oI0yI
